9.1 내적의 개념

내적 공간

앞서 벡터 공간에 대해 배웠다. 이번에 배울 **내적공간(inner product space)**는 벡터 공간에서 확장된 공간이다. 벡터 공간 $V$에서 다음의 공리를 만족하는 연산을 가진 벡터 공간을 내적 공간이라고 한다.

1. $u \cdot v = v\cdot u$ (내적의 교환 법칙의 성립)
2. $u+v \cdot w = u \cdot v + u\cdot w$ (합의 분배 법칙의 성립)
3. $au \cdot v = a(u\cdot v)$ (스칼라 곱의 교환법칙 성립)
4. $u \cdot u\ge 0$ (norm은 항상 양수)

내적의 정의

내적은 벡터와 벡터간의 연산이며, 결과값은 항상 스칼라이다.

내적은 다음과 같은 방식으로 연산한다.

$$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{bmatrix}, \mathbf{b} = \begin{bmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{bmatrix} $$

일때,

$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n $$

이므로 이는

$$ \mathbf{a} = \begin{bmatrix}a_1 \\a_2 \\a_3\end{bmatrix}, \quad\mathbf{b} = \begin{bmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{bmatrix} \\ \mathbf{a}^\top \mathbf{b} =\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}b_1 \\b_2 \\b_3\end{bmatrix}= a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3b_3 $$

와 같이 전치행렬로 표현할 수도 있다.

내적의 성질

내적을 이용하면 벡터의 길이(norm)을 구하거나 벡터 사이의 관계를 파악할 수 있다.