벡터 공간(vector space)는 벡터의 덧셈과 스칼라 곱이 정의된 공간을 의미한다. 다른말로는 선형공간(linear space)라고도 한다. 벡터 공간에는 아직 ‘길이’나 ‘각도’가 정의되어 있지 않다. 이를 구별하기 위해서는 벡터 공간이 확장된 공간인 **내적 공간(inner product space)**가 필요하다. 이는 다음 시간에 알아볼 것임.
$n$차원 벡터 공간은 $\mathbb{R}^n$으로 표현한다. $n$차원 공간의 벡터를 표현하는데에는 $n$개의 숫자가 필요하다.
가령 3차원 공간을 표현하기 위해선 다음의 세개의 숫자로 이루어진 벡터가 필요하다.
$$ i = (1,0,0) \\ j = (0,1,0) \\ k=(0,0,1) $$
어떤 공간의 좌표 축의 기본 벡터를 유닛 벡터(unit vector)라고 한다. 위는 3차원 공간의 유닛 벡터이다. 3차원 공간은 3차원 유닛벡터의 선형 결합으로 나타낼 수 있다.
예를 들어 $a = (2,1,3)$이라면,
$$ a = 2i + j+3k $$
로 표현할 수 있다.
벡터 공간 $V$의 부분집합 $W$가 $V$의 부분 공간인지 판단하기 위해 주로 subspace test라는 것이 이용된다. 만약 $W$가 $+$연산과 $\cdot$ 연산에 닫혀있다면 $W$는 $V$의 부분공간이다.
선형 변환(linear transformation)은 두 벡터 공간 사이의 함수이다.
좌표 평면에 있는 어떤 벡터를 확대하거나 축소하거나, 회전시키거나 반사하는 것은 모두 변환이라고 할 수 있다. 예를들어 행렬과 벡터의 곱 $Ax$는 벡터 $x$에 선형변환 $A$를 취한 것을 의미한다.
위와 같은 행렬곱을 좌표상에 나타내면