행렬식(determinant)은 행렬의 특성을 숫자로 표현하는 방법 중 하나이다. 더 자세히 설명하자면 행렬식은 정사각 행렬(squared matrix)를 스칼라로 변환하는 함수이다.
행렬식을 이용하면 다음의 것들을 구할 수 있다.
사실 행렬식은 임의의 행렬 $A$를 벡터로 표현했을때, 해당 벡터들이 공간에서 만들어내는 다면체의 부피를 구하는 것과 동일하다.
행렬식은 정사각 행렬을 스칼라로 변환하는 함수라고 했다. 가장 단순한 2x2크기의 행렬식을 구해보자. 참고로 행렬 $A$의 행렬식은 $det(A)$ 또는 $|A|$라고 표기한다.
$$ \text{det}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc $$
이를 좌표상에서 바라보면 왜 이런 식이 나왔는지 이해하기 편하다.
이는 두 벡터를 알고 있을때 두 벡터를 이용해 구한 평행사변형의 넓이와 동일하다.
$$ \text{det}\begin{bmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i\end{bmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $$