행렬을 이용해 연립 방정식의 해를 쉽게 구할 수 있는데, 이 연립방정식을 다른 말로 선형시스템이라고도 한다.
방정식(equation)이란 변수가 포함된 식에서 해당 변수가 특정 값을 가질때만 성립하는 등식을 의미한다.
**선형 방정식(linear equation)**이란 하나 이상의 변수를 포함하며, 각 변수의 차수가 1인 방정식을 의미한다. 즉 선형방정식에서 최고차수는 1이다.
예를들어 2차원 평면에서 직선의 방정식은 다음과 같이 표현된다.
$$ a_1x + a_2y =b $$
위와같은 선형방정식에서 $x,y$는 변수(variable)이라고 하고, $a_1,a_2$는 계수(coefficient)라고 한다. $b$는 상수(constant)라고 한다.
선형방정식의 일반화는 다음과 같다.
$$ a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b $$
다음과 같은 경우는 선형방정식이 아니다.
$$ y = cosx \\ 1 = 2^x + y \\ x + \sqrt{y} = 2 \\ x + y + xy = 3 $$
선형 방정식이 여러개인 연립방정식을 **선형 시스템(linear system)**이라고 한다.
$$ \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\\vdots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m\end{cases} $$