벡터 스페이스의 8가지 Axioms

임의의 체 $\langle F ,+,\cdot \rangle$와 가환군 $\langle V, + \rangle$에 대해 $F-$벡터공간 $V$는, $F$의 원소를 $V$의 원소 왼쪽에 곱하는 연산인 스칼라 곱을 갖는 대수구조이다.

💡 스칼라 곱이 만족해야 하는 5가지 조건은 적지 않았다…

[벡터 덧셈의 성질]

벡터공간 $V$가 존재할때,

• 결합법칙: 모든 $u,v,w∈V$에 대해,

  $$ (u+v)+w=u+(v+w) $$

• 교환법칙: 모든 $u,v∈V$에 대해,

$$ u+v=v+u $$

• 덧셈의 항등원: $0∈V$가 존재하여, 모든 $v∈V$에 대해,

$$ v+0=v $$

• 덧셈의 역원: 모든 $v∈V$에 대해, $−v∈V$가 존재하여,

$$ v+(−v)=0 $$

[스칼라 곱셈의 성질]

체 $F$와 벡터공간 $V$가 존재할 때

• 스칼라 곱의 결합법칙: 모든 $a,b∈F$와 $v∈V$에 대해,

  $$ a⋅(b⋅v)=(a⋅b)⋅v $$

• 스칼라 곱의 항등원: 스칼라 항등원 $1∈F$에 대해, 모든 $v∈V$에 대해

$$ 1⋅v=v $$

• 분배법칙 (스칼라에 대한 분배): 모든 $a∈F$와 $u,v∈V$에 대해,

$$ a⋅(u+v)=(a⋅u)+(a⋅v) $$