| 대수적 구조 | 이름의 유래 | 의미 및 비유 |
|---|---|---|
| Magma | "혼합물(반죽)" | 단순히 연산이 정의된 가장 기본 구조 |
| Group | Galois의 대칭 연산 집합 | 연산이 집단적으로 작동 |
| Ring | Hilbert의 "Zahlring" | 연산이 닫힌 순환적 구조 |
| Field | Dedekind의 "Körper" | 모든 연산이 조화롭게 작동하는 영역 |
| Vector Space | 라틴어 "vectus(운반)" | 방향과 크기가 정의된 공간 |
| Module | 라틴어 "modulus(측정 단위)" | 링 위에서 벡터 공간의 일반화 |
| Monoid | 그리스어 "monos(단일)" | 단일 연산과 항등원을 가진 구조 |
| Lattice | 물리적 "격자"에서 유래 | 원소 간 계층적 연결 구조 |
단위 마그마(Unital magma): 오직 항등원만을 갖는 마그마
반군(Semigroup): 결합법칙(associative property)만이 성립하는 마그마
eg) 문자열 연결, 함수의 합성
💡 결합법칙은, 하나의 이항연산이 하나의 식에서 적어도 두 번 이상 나타났을때, 먼저의 이항연산을 수행하든, 나중의 이항연산을 수행하든 전체 식의 결과가 같은 성질을 말한다.
결합법칙이 성립하는 이항연산은 ()를 배제해도 되어서 단순해짐.
유사군(Quasigroup): 원시적인 나눗셈 성질만을 만족하는 마그마
$$ a⋅x=b \\ y⋅a = b $$
에 대해 $x$와 $y$가 유일한 마그마가 유사군이다. (역원에 대한 기초적 개념)
유사군이며 단위 마그마(원시 나눗셈 + 항등원)인 이항구조를 **고리(Loop)**라고 한다.
유사군이며 반군인 이항구조(원시 나눗셈(역원) + 결합법칙)를 **역반군(inverse semigroup)**이라고 한다.
단위마그마이며 반군인 이항구조(항등원 + 결합법칙)를 **모노이드(monoid)**라고 한다.
유사군이며 반군이고 단위마그마인 이항구조**(역원, 항등원, 결합법칙)**를 **군(group)**이라고 한다.
💡 결합법칙은 오직 하나의 연산에 대해서만, 그리고 구조를 더 단순하게 만들어주는 속성이기 때문에 일반화하기 편리. 따라서 기초적인 대수구조에서부터 등장한다. 그러나 **교환법칙(Commutativity)**는 특정 대수구조에서만 성립하여 보편적이지 않고, 따라서 대수구조를 확장하기 어렵고
$$ a⋅b = b⋅a $$
**분배법칙(Distributivity)**역시 적어도 두 개의 이항연산이 요구되므로, 기초적인 대수구조에 어울리지 않다.
$$ a⋅(b+c) = a⋅b + a⋅c $$